2026年高联二试（A卷）几何题的解答

1. 题目

如图，在锐角三角形 ABCABCABC 中，AB<ACAB<ACAB<AC，ADADAD 是 BCBCBC 边上的高，HHH 为垂心，OOO 为外心，NNN 为 HOHOHO 的中点，线段 BDBDBD 内一点 PPP 满足 ∠PND=2∠PAD\angle PND = 2\angle PAD∠PND=2∠PAD。

证明：直线 BCBCBC 与三角形 AOPAOPAOP 的外接圆相切。

2. 分析

这个题虽然本身和Humpty点不直接相关，但是如果知道其性质，可以帮助我们找到思路。

首先，∠PND=2∠PAD\angle PND = 2\angle PAD∠PND=2∠PAD 的条件比较好处理，直接取 APAPAP 中点 EEE，显然 EEE、PPP、DDD、NNN 共圆。

接下来的问题是，如何处理中点 NNN，以及要如何证明结论。

我们先从结论出发。过点 AAA、OOO 且与直线 BCBCBC 相切的圆有两个，其中一个的切点为 PPP，我们设另一个的切点为 QQQ。显然，点 OOO 是 △APQ\triangle APQ△APQ 的A-Humpty点。

关于Humpty点，除了前面的两篇文章^{1, 2}里面介绍的性质之外，还有一个常用的性质：

设点 XXX 为 △ABC\triangle ABC△ABC 的A-Humpty点。则

ABZCABZCABZC 为调和四边形   ⟺  Z\iff Z⟺Z 和 XXX 关于 BCBCBC 对称

证明

先证明充分性。由点 XXX 的性质可知，点 ZZZ 在 △ABC\triangle ABC△ABC 的外接圆上，且在 △ABC\triangle ABC△ABC 的A-Apollonius圆上，因此

ABAC=ZBZC  ⟹  AB⋅ZC=AC⋅ZB  ⟹  ABZC 为调和四边形 \frac{AB}{AC}=\frac{ZB}{ZC} \implies AB\cdot ZC = AC\cdot ZB \implies ABZC \,\text{为调和四边形} ACAB​=ZCZB​⟹AB⋅ZC=AC⋅ZB⟹ABZC为调和四边形

另证：

设点 SSS 为 △ABC\triangle ABC△ABC 的外接圆在点 AAA 处的切线与直线 BCBCBC 的交点，由点 XXX 的性质可知，SXSXSX 是 △BHC\triangle BHC△BHC 的外接圆在点 XXX 处的切线。

由对称性可知，SZSZSZ 是 △ABC\triangle ABC△ABC 的外接圆在点 ZZZ 处的切线，因此 ABZCABZCABZC 为调和四边形。

由点 ZZZ 的唯一性可知必要性也成立。

在本题中，我们作点 OOO 关于 BCBCBC 的对称点 ZZZ，则 APZQAPZQAPZQ 为调和四边形。

同时，根据

AH=2OM  ⟹  AH=OZ AH=2OM \implies AH=OZ AH=2OM⟹AH=OZ

可知 NNN 也是 AZAZAZ 的中点。

结合前面 EEE、PPP、DDD、NNN 共圆的条件，我们对称的取 AQAQAQ 中点 FFF，由位似可知 AAA、EEE、NNN、FFF 共圆，因此右边 FFF、QQQ、DDD、NNN 也共圆。

实际上，这个图本身就可以得到一个调和四边形的结论：

在 △APQ\triangle APQ△APQ 中，ADADAD 为高，EEE、FFF 分别是 APAPAP、AQAQAQ 中点，点 NNN 是 DDD、EEE、FFF 关于 △APQ\triangle APQ△APQ 的密克点，点 ZZZ 是 AAA 关于 NNN 的对称点，则 APZQAPZQAPZQ 为调和四边形。

证明就是位似+简单的倒角即可。

到这里，我们基本就找到了证明所需的路径：

EPDNEPDNEPDN 共圆   ⟹  \implies⟹ 调和四边形 APZQ  ⟹  APZQ \impliesAPZQ⟹ Humpty点 OOO

3. 解答

作 OOO 关于 BCBCBC 的对称点 ZZZ，则

OZ=AH, OZ∥AH  ⟹  平行四边形 AHZO  ⟹  N 为 AZ 中点 OZ=AH,\, OZ\parallel AH \implies \text{平行四边形}\, AHZO \implies N \,\text{为}\, AZ \,\text{中点} OZ=AH,OZ∥AH⟹平行四边形AHZO⟹N为AZ中点

设 △APZ\triangle APZ△APZ 的外接圆与直线 BCBCBC 交于另一点 QQQ，分别取 APAPAP 中点 EEE、AQAQAQ 中点 FFF，则 EF∥PQEF\parallel PQEF∥PQ，△NEF∼△ZPQ\triangle NEF\sim \triangle ZPQ△NEF∼△ZPQ。

由 EEE 是 APAPAP 中点可知 EA=ED=EPEA=ED=EPEA=ED=EP，故

∠PED=2∠PAD=∠PND \angle PED = 2\angle PAD = \angle PND ∠PED=2∠PAD=∠PND

因此 EEE、PPP、DDD、NNN 共圆。设其圆心为 O1O_1O1​，则

ED=EP  ⟹  EO1⊥PD  ⟹  EO1⊥EF ED=EP \implies EO_1 \perp PD \implies EO_1 \perp EF ED=EP⟹EO1​⊥PD⟹EO1​⊥EF

可知 EFEFEF 为 ⊙O1\odot O_1⊙O1​ 的切线，因此

∠ZPQ=∠NEF=∠APN \angle ZPQ = \angle NEF = \angle APN ∠ZPQ=∠NEF=∠APN

注意到 NNN 是 AZAZAZ 的中点，可知 APZQAPZQAPZQ 为调和四边形。故

∠OPQ=∠ZPQ=∠APN∠OQP=∠ZQP=∠AQN \begin{aligned} \angle OPQ & = \angle ZPQ = \angle APN \\ \angle OQP & = \angle ZQP = \angle AQN \end{aligned} ∠OPQ∠OQP​=∠ZPQ=∠APN=∠ZQP=∠AQN​

因此 NNN 和 OOO 关于 △APQ\triangle APQ△APQ 等角共轭，故

∠OAP=∠NAQ=∠ZPQ=∠OPQ \angle OAP = \angle NAQ = \angle ZPQ = \angle OPQ ∠OAP=∠NAQ=∠ZPQ=∠OPQ

可知直线 BCBCBC 与三角形 AOPAOPAOP 的外接圆相切，结论成立。